Question

5．在锐角△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a，b，c，S为△ABC的面积，且满足4SsinC=c²sinB．
（1）求角A的大小；
（2）已知b+c=4，求a的最小值，并求此时△ABC的面积S的值．

Answer 1

分析 （1）由三角形面积公式及正弦定理化简已知可得2sinAsinBsin²C=sin²CsinB，由锐角△ABC中，sinB＞0，sinC＞0，可解得sinA=$\frac{1}{2}$，即可解得A的值．
（2）由余弦定理及基本不等式即可求得a的最小值及此时b，c的值，利用三角形面积公式即可得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵△ABC的面积S=$\frac{1}{2}absinC$，又4SsinC=c²sinB．
∴2absin²C=c²sinB，
∴由正弦定理可得：2sinAsinBsin²C=sin²CsinB，
∵锐角△ABC中，sinB＞0，sinC＞0，
∴解得：sinA=$\frac{1}{2}$，解得A=$\frac{π}{6}$，或$\frac{5π}{6}$（舍去）．
（2）∵b+c=4，A=$\frac{π}{6}$，
∴由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA=${b}^{2}+{c}^{2}-\sqrt{3}bc$=$（b+c）^{2}-（2+\sqrt{3}）bc$=16-（2+$\sqrt{3}$）bc≥16-（2+$\sqrt{3}$）×$（\frac{4}{2}）^{2}$（当且仅当c=b=2时，等号成立），
=8-4$\sqrt{3}$，
∴a的最小值为：2$\sqrt{2-\sqrt{3}}$，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}×2×2×\frac{1}{2}$=1．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，基本不等式的应用，属于基本知识的考查．