Question

当函数f（x）满足“对于区间（1，2）上的任意x₁、x₂，有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|恒成立，”则称f（x）为优美函数，若f（x）=，是优美函数，则a的取值范围为

1. A.
   [-1，1]
2. B.
   （-1，1 ）
3. C.
   [0，1]
4. D.
   [0，1）

Answer 1

A
分析：由于x₁＜x₂时总有f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁成立，故可将解析式代入，进行整理化简，分离出常数a来，得到关于a在区间（1，2）上恒成立进而判断出右边式子的最值，得出参数a的取值范围．
解答：∵|f（x₁）-f（x₂）|＞|x₁-x₂|
∴||≤|x₁-x₂|
∴
∴|a|≤x₁x₂在x∈（1，2）上恒成立
∵1＜x₁x₂＜4
∴|a|≤1
∴-1≤a≤1
故选A
点评：本题考点是函数恒成立的问题，通过对|f（x₂）-f（x₁）|＞|x₂-x₁|转化变形，得到关于参数的不等式在区间（1，2）上恒成立，此种方法是分离常数法在解题中的应用，对此类恒成立求参数的问题，要注意此类技巧的使用．