Question

定义域为R的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）=x²-x，则当x∈[-2，-1]时，f（x）的最小值为（　　）

• A、-

  1

  16

• B、-

  1

  8

• C、-

  1

  4

• D、0

Answer 1

分析：x∈[-2，-1]⇒x+2∈[0，1]，由f（x+1）=2f（x）⇒f（x+2）=4f（x），结合题意x∈（0，1]时，f（x）=x²-x，即可求得f（x）的最小值．

解答：解：当x∈[-2，-1]时，x+2∈[0，1]，
∴f（x+2）=（x+2）²-（x+2）=x²+3x+2，
又f（x+1）=2f（x），
∴f（x+2）=f[（x+1）+1]=2f（x+1）=4f（x），
∴4f（x）=x²+3x+2（-2≤x≤-1），
∴f（x）=

1

4

（x²+3x+2）=

1

4

(x+

3

2

)2-

1

16

（-2≤x≤-1），
∴当x=-

3

2

时，f（x）取得最小值-

1

16

．
故选：A．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查转化思想与理解能力，求得f（x）=

1

4

（x²+3x+2）是关键，也是难点，属于中档题．