Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=1-a_n
（1）证明{a_n}是等比数列．
（2）设bn=(

1

log2a2n+3

-

2

log2a2n+1

)an
（3）求证：b1+b2+…+bn＜

1

3

．

Answer 1

分析：（1）利用数列中a_n与 Sn关系an=

Sn     n=1 Sn-Sn-1    n≥2

求{a_n}的通项，根据定义去证明．
（2）按照对数运算，得出bn =

1

(2n+1)2n-1

-

1

(2n+3)2n

，代入b₁+b₂+…+b_n根据式子规律，从第二项起，相邻两项正负相消，进行求和与证明．

解答：解：（1）证明
当n=1时，a1=S1=1-a1，a1=

1

2

当n≥2时a_n=S_n-S_n-1=（1-a_n）-（1-a_n-1）∴an=

1

2

an-1(n≥2)，故{a_n}是等比数列          
（2）由（1）知{a_n}是以

1

2

为首项，以

1

2

为公比的等比数列，
∴a_n=2^-n ∴bn=(

1

-2n-3

+

2

2n+1

)•2-n  =

1

(2n+1)2n-1

-

1

(2n+3)2n

∴b₁+b₂+…+b_n=（

1

3

-

1

5×21

 ）+（

1

5×21

- 

1

7×22

）+…+（ 

1

(2n+1)2n-1

-

1

(2n+3)2n

）=

1

3

-

1

(2n+3)2n

＜

1

3

点评：本题主要考查数列中a_n与 Sn关系 an=

Sn     n=1 Sn-Sn-1    n≥2

，对数运算、数列求和，不等式证明．属于中档题．