Question

14．求证：$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{5}{6}$•…•$\frac{99}{100}$＜$\frac{1}{10}$．

Answer 1

分析 令a=$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{5}{6}$•…•$\frac{99}{100}$，b=$\frac{2}{3}$•$\frac{4}{5}$•$\frac{6}{7}$•…•$\frac{100}{101}$，相乘，结合a＜b，即可证明结论．

解答 证明：令a=$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{5}{6}$•…•$\frac{99}{100}$，b=$\frac{2}{3}$•$\frac{4}{5}$•$\frac{6}{7}$•…•$\frac{100}{101}$，
∴ab=（$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{5}{6}$•…•$\frac{99}{100}$）•（$\frac{2}{3}$•$\frac{4}{5}$•$\frac{6}{7}$•…•$\frac{100}{101}$）=$\frac{1}{101}$＜$\frac{1}{100}$，
∵a＜b，
∴a²＜ab＜$\frac{1}{100}$，
∴a＜$\frac{1}{10}$，
∴$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{5}{6}$•…•$\frac{99}{100}$＜$\frac{1}{10}$．

点评 本题考查不等式的证明，考查系数分析解决问题的能力，构造a=$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{5}{6}$•…•$\frac{99}{100}$，b=$\frac{2}{3}$•$\frac{4}{5}$•$\frac{6}{7}$•…•$\frac{100}{101}$是关键．