Question

已知函数f(x)=asin2(

π

4

+x)+bcos2x，f（0）=1-

3

，且f(

π

2

)=1+

3

（1）求a，b的值及f（x）的最大值和最小值；
（2）若不等式|f（x）-m|＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，求实数m的取值范围；
（3）由f（x）的图象是否可以经过平移变换得到一个奇函数y=g（x）的图象？若能，请写出你的变换过程；否则说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式，由条件求出a、b的值，进一步化简f（x）=1+2sin（2x-

π

3

），从而求出函数的最大值和最小值．
（2）由条件可得x∈[

π

4

，

π

2

]上时，m-3＜2sin（2x-

π

3

）＜1+m恒成立，故有

1

2

≤2sin（2x-

π

3

）≤2．由 1+m＞2，m-3＜

1

2

，求出实数m的取值范围．
（3）由f（x）=1+2sin（2x-

π

3

） 可得，把f（x）的图象向左平移

π

6

个单位得到y=1+2sin2x的图象，再向下平移1个单位可得y=2sin2x的图象，而y=2sin2x就是奇函数，从而得到结论．

解答：解：（1）f(x)=asin2(

π

4

+x)+bcos2x=a

1-cos( π 2 +2x)

2

+bcos2x=

a

2

+

1

2

a•sin2x+bcos2x．
由f（0）=1-

3

，且f(

π

2

)=1+

3

可得

a

2

+b=1-

3

，且

a

2

-b=1+

3

，∴a=2，b=-

3

．
∴f（x）=1+sin2x-

3

cos2x=1+2sin（2x-

π

3

），故它的最大值为3，最小值等于-1．
（2）若不等式|f（x）-m|＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，即m-3＜2sin（2x-

π

3

）＜1+m．
由于

π

4

≤x≤

π

2

，∴

π

6

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，∴

1

2

≤2sin（2x-

π

3

）≤2．
∴1+m＞2，m-3＜

1

2

，解得1＜m＜

7

2

，
故实数m的取值范围（1，

7

2

）．
（3）由f（x）=1+2sin（2x-

π

3

）可得，
把f（x）的图象向左平移

π

6

个单位得到y=1+2sin2x的图象，
再向下平移1个单位可得y=2sin2x的图象，而y=2sin2x就是奇函数，
故由f（x）的图象可以经过平移变换得到一个奇函数y=g（x）的图象．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，三角函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换，正弦函数的值域，函数的恒成立问题，以及函数的奇偶性，属于中档题．