Question

设椭圆C：的左、右焦点分别为F₁，F₂，上顶点为A，过点A与AF₂垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若过A、Q、F₂三点的圆恰好与直线l：相切，求椭圆C的方程；
（3）在（2）的条件下，过右焦点F₂作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．
．

Answer 1

【答案】分析：（1）设Q（x，0），由F₂（c，0），A（0，b）结合向量条件及向量运算得出关于a，c的等式，从而求得椭圆的离心率即可；
（2）由（1）知a，c的一个方程，再利用△AQF的外接圆得出另一个方程，解这两个方程组成的方程组即可求得所求椭圆方程；
（3）由（Ⅱ）知直线l：y=k（x-1），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得满足题意的点P且m的取值范围．
解答：解：（1）设Q（x，0），由F₂（c，0），A（0，b）
知
∵，∴，
由于即F₁为F₂Q中点．
故∴b²=3c²=a²-c²，
故椭圆的离心率，（3分）
（2）由（1）知，得于是F₂（a，0）Q，
△AQF的外接圆圆心为（-a，0），半径r=|FQ|=a
所以，解得a=2，∴c=1，b=，
所求椭圆方程为，（6分）
（3）由（Ⅱ）知F₂（1，0）l：y=k（x-1）
代入得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
则，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2），（8分）
=（x₁+x₂-2m，y₁+y₂）
由于菱形对角线垂直，则
故k（y₁+y₂）+x₁+x₂-2m=0
则k²（x₁+x₂-2）+x₁+x₂-2m=0k²（10分）
由已知条件知k≠0且k∈R∴∴
故存在满足题意的点P且m的取值范围是．（12分）
点评：当直线与圆锥曲线相交时   涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式）；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化   同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．