Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，E是棱CC₁上的动点，F是AB中点，AC=BC=2，
AA₁=4．
（Ⅰ）求证：CF⊥平面ABB₁；
（Ⅱ）若二面角A-EB₁-B的大小是45°，求CE的长．

Answer 1

分析：（I）由直棱柱的结构特征可得BB₁⊥平面ABC，进而由线面垂直的性质得到CF⊥BB₁，进而由等腰三角形三线合一可得CF⊥AB，进而由线面垂直的判定定理得到CF⊥平面ABB₁；
（Ⅱ）以C为坐标原点，射线CA，CB，CC₁为x，y，z轴正半轴，建立空间直角坐标系C-xyz，设E（0，0，m），分别求出平面AEB₁的法向量及平面EBB₁的法向量，结合二面角A-EB₁-B的大小是45°，构造关于m的方程，解方程求出m值，进而可得CE的长．

解答：证明：（Ⅰ）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直棱柱，
∴BB₁⊥平面ABC．
又∵CF?平面ABC，
∴CF⊥BB₁．
∵∠ACB=90°，AC=BC=2，F是AB中点，
∴CF⊥AB．
又∵BB₁∩AB=B，BB₁?平面ABB₁，AB?平面ABB₁．
∴CF⊥平面ABB₁．
解：（Ⅱ）以C为坐标原点，射线CA，CB，CC₁为x，y，z轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，
则C（0，0，0），A（2，0，0），B₁（0，2，4）．
设E（0，0，m），平面AEB₁的法向量

n

=(x，y，z)，
则

AB1

=(-2，2，4)，

AE

=(-2，0，m)．
且

AB1

⊥

n

，

AE

⊥

n

．
于是

AB1 • n =-2x+2y+4z=0 AE • n =-2x+0y+mz=0.

所以

x= mz 2 y= mz-4z 2 .

取z=2，则

n

=(m，m-4，2)
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直棱柱，
∴BB₁⊥平面ABC．
又∵AC?平面ABC，
∴AC⊥BB₁．
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC．
∵BB₁∩BC=B，
∴AC⊥平面ECBB₁．
∴

CA

是平面EBB₁的法向量，

CA

=(2，0，0)．
∵二面角A-EB₁-B的大小是45°，
∴cos45°=

CA • n

| CA || n |

=

2m

2× m2+(m-4)2+22

=

2

2

．
解得m=

5

2

．
∴CE=

5

2

．

点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，两点之间的距离运算，向量语言表示面面夹角，是一道与二面角有关的立体几何综合题，难度中档．