Question

在数列{a_n}中，a₁=2，an=2an-1+2n+1(n≥2，n∈N*)
（1）令bn=

an

2n

，求证{b_n}是等差数列；
（2）在（1）的条件下，设Tn=

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

，求T_n．

Answer 1

分析：（1）利用数列递推式，结合bn=

an

2n

，即可得到数列{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列；
（2）利用裂项法，即可求得数列的和．

解答：（1）证明：由an=2an-1+2n+1得

an

2n

=

an-1

2n-1

+2…（4分）
∴

an

2n

-

an-1

2n-1

=2（n≥2）…（5分）
又bn=

an

2n

，∴b₁=1，
∴数列{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列．…（6分）
（2）解：由（1）知b_n=2n-1，∴

1

bnbn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)…（9分）
∴Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

…（12分）

点评：本题考查数列递推式，考查等差数列的证明，考查数列的求和，解题的关键是正确运用数列递推式，合理运用数列的求和公式，属于中档题．