Question

（1）计算：C₃³+C₄³+C₅³+…+C₁₀³
（2）证明：A_n^k+kA_n^k-1=A_n+1^k．

Answer 1

分析：（1）先把C₃³化为C₄⁴，再根据组合数的性质，C_n^m+C_n^m-1=C_n+1^m，逐个化简，即可求出C₃³+C₄³+C₅³+…+C₁₀³
的值．
（2）把左右两边分别用排列数公式，A_n^m=

n!

(n-m)!

化简，再判断化简后得式子相等即可．

解答：解：（1）∵C_mⁿ+C_m-1ⁿ=C_mⁿ⁺¹，
∴原式=C₄⁴+C₄³+C₅³+…+C₁₀³
=C₅⁴+C₅³+C₆³+…+C₁₀³
=C₆⁴+C₆³+C₇³+…+C₁₀³
=…
=C₁₀⁴+C₁₀³
=C₁₁⁴
=330
（2）证明：∵

A

n m

=

n!

(n-m)!

∴左边=

n!

(n-k)!

+k

n!

(n-k+1)!

=

n![(n-k+1)+k]

(n-k+1)!

=

(n+1)!

(n-k+1)!

=A_n+1^k=右边

点评：本题考查了排列数公式和组合数性质，做题时应认真计算，避免出错．