Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=BC=AB=2，AB⊥BC，求二面角B₁-A₁C-C₁的大小．

Answer 1

分析：建立空间直角坐标系，求出2个平面的法向量的坐标，设二面角的大小为θ，显然θ为锐角，
设2个法向量的夹角φ，利用2个向量的数量积可求cosφ，则由cosθ=|cosφ|求出二面角的大小θ．

解答：解：如图，建立空间直角坐标系．则A（2，0，0），C（0，2，0），A₁（2，0，2），B₁（0，0，2），C₁（0，2，2），
设AC的中点为M，
∵BM⊥AC，BM⊥CC₁．
∴BM⊥平面A₁C₁C，
即

BM

=（1，1，0）是平面A₁C₁C的一个法向量．
设平面A₁B₁C的一个法向量是n=（x，y，z）．

A1C

=（-2，2，-2），

A1 B1

=（-2，0，0），
∴

n• A1B1 =-2x=0 n• A1C1 =-2x+2y-2z=0

令z=1，解得x=0，y=1．
∴n=（0，1，1），
设法向量n与

BM

的夹角为φ，二面角B₁-A₁C-C₁的大小为θ，显然θ为锐角．
∵cosθ=|cosφ|=

|n• BM |

|n|•| BM |

=

1

2

，解得：θ=

π

3

．
∴二面角B₁-A₁C-C₁的大小为

π

3

．

点评：本题考查利用向量求二面角的大小为的方法，设二面角的大小为θ，2个平面法向量的夹角φ，则θ和φ 相等或互补，这两个角的余弦值相等或相反．