题目内容

设函数f（x）=（x-3）3+x-1，数列{an}是公差不为0的等差数列，则f（a1）+f（a2）+…+f（a7）=14，则a1+a2+…+a7=（　　）
A、0B、7C、14D、21
分析：由题意可得[（a1-3）3+a1-3]+[（a2-3）3+a2-3]+…+[（a7-3）3+a7-3]=0，再利用等差数列的性质求得 a4=3，从而求得a1+a2+…+a7 的值．
解答：解：由题意可得，[（a1-3）3+a1-1]+[（a2-3）3+a2-1]+…+[（a7-3）3+a7-1]=14，
∴[（a1-3）3+a1-3]+[（a2-3）3+a2-3]+…+[（a7-3）3+a7-3]=0，
 根据等差数列的性质可得 （a4-3-3d）3 +（a4-3-2d）3 +…+（a4-3+3d）3+7（a4-3）=0，
（a4-3-3d）3 +（a4-3+3d）3 +（a4-3-2d）3 +（a4-3+2d）3 +（a4-3+d）3 +（a4-3+d）3 ，
（a4-3）3 +7（a4-3）=0，
（a4-3）[7（a4-3）3 +84d2+7]=0，∴a4-3=0，即 a4=3．
∴a1+a2+…+a7=7a4=21，
故选：D．
点评：本题主要考查等差数列的定义和性质的应用，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为
2
，求a的值；
（2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
2
2
，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．
设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（x）恒成立；当x∈[0，1]时，f（x）=x3-4x+3．有下列命题：
①f(-
3
4
) ＜f(
15
2
)；
②当x∈[-1，0]时f（x）=x3+4x+3；
③f（x）（x≥0）的图象与x轴的交点的横坐标由小到大构成一个无穷等差数列；
④关于x的方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上有7个不同的根．
其中真命题的个数为（　　）
设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为2
2
，求a的值；
（2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
2
2
，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．
设函数f（x）=x（x-1）2，x＞0．
（1）求f（x）的极值；
（2）设0＜a≤1，记f（x）在（0，a]上的最大值为F（a），求函数的最小值；
（3）设函数g（x）=lnx-2x2+4x+t（t为常数），若使g（x）≤x+m≤f（x）在（0，+∞）上恒成立的实数m有且只有一个，求实数m和t的值．
设函数f（x）=x（x-1）2，x＞0．
（1）求f（x）的极值；
（2）设0＜a≤1，记f（x）在（0，a]上的最大值为F（a），求函数的最小值；
（3）设函数g（x）=lnx-2x2+4x+t（t为常数），若使g（x）≤x+m≤f（x）在（0，+∞）上恒成立的实数m有且只有一个，求实数m和t的值．

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