Question

如图放置的腰长为2的等腰三角形ABC薄片，∠ACB=

π

2

，沿x轴滚动，设顶点A（x，y）的轨迹方程为y=f（x），则f（x）其相邻两个零点间的图象与x轴围成的封闭图形的面积为

2+4π

．

Answer 1

分析：作出点A的轨迹中相邻两个零点间的图象，如图所示．其轨迹为两段圆弧，一段是以C为圆心，CA为半径的四分之一圆弧；一段是以B为圆心，BA为半径，圆心角为

3π

4

的圆弧，从而可求区域的面积．

解答：解：作出点A的轨迹中相邻两个零点间的图象，如图所示．

其轨迹为两段圆弧，一段是以C为圆心，CA为半径的四分之一圆弧；
一段是以B为圆心，BA为半径，圆心角为

3π

4

的圆弧．
其与x轴围成的图形的面积为

1

4

×2²×π+

3

8

×（2

2

）2×π+

1

2

×2×2=2+4π．
故答案为：2+4π．

点评：本题以实际问题为载体，考查轨迹的求法，考查图形的面积，有一定的综合性．