Question

如图甲，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=，点M、N分别在AB，CD上，且MN⊥AB，MC⊥CB，BC=2，MB=4，现将梯形ABCD沿MN折起，使平面AMND与平面MNCB垂直（如图乙），
（Ⅰ）求证：AB∥平面DNC；
（Ⅱ）当DN的长为何值时，二面角D-BC-N的大小为30°？

Answer 1

解：（Ⅰ）MB∥NC，MB平面DNC，NC平面DNC， ∴MB∥平面DNC， 同理MA∥平面DNC， 又MA∩MB=M，且MA，MB平面MAB， ∴。
（Ⅱ）过N作NH⊥BC交BC延长线于H，连结HN， ∵平面AMND⊥平面MNCB，DN⊥MN， ∴DN⊥平面MBCN，从而DH⊥BC， ∴∠DHN为二面角D-BC-N的平面角， ∴∠DHN=30°， 由MB=4，BC=2，∠MCB=90°知∠MBC=60°， ， ∴NH=3·sin60°=， 由条件知：， ∴。