Question

如图甲，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=

π

2

，点M、N分别在AB，CD上，且MN⊥AB，MC⊥CB，BC=2，MB=4，现将梯形ABCD沿MN折起，使平面AMND与平面MNCB垂直（如图乙）．
（1）求证：AB∥平面DNC；
（2）当DN的长为何值时，二面角D-BC-N的大小为30°？

Answer 1

分析：（1）证明AB所在平面MAB与平面DNC平行，即可证明AB∥平面DNC；
（2）过N作NH⊥BC交BC延长线于H，说明∠DHN为二面角D-BC-N的平面角，利用二面角D-BC-N的大小为30°，求出DN的长．

解答：解：（1）证明：∵MB∥NC，MB?平面DNC，NC?平面DNC，
∴MB∥平面DNC．
同理MA∥平面DNC，又MA∩MB=M，且MA、MB?

平面MAB∥平面NCD AB?平面MAB

?AB∥平面DNC．
（2）过N作NH⊥BC交BC延长线于H，


∵平面AMND⊥平面MNCB，DN⊥MN，
∴DN⊥平面MBCN，从而DH⊥BC，
∴∠DHN为二面角D-BC-N的平面角．
由MB=4，BC=2，∠MCB=90°知∠MBC=60°，
CN=4-2cos60°=3，∴NH=3sin60°=

3 3

2

．
由条件知：tan∠NHD=

DN

NH

=

3

3

，
∴DN=NH•

3

3

=

3 3

2

• 

3

3

=

3

2

．

点评：本题考查直线与平面平行的判定，二面角及其度量，考查逻辑思维能力，空间想象能力，计算能力，是中档题．也可以通过空间直角坐标系的方法解答本题．