题目内容
设x1，x2（x1＜x2）是函数f（x）=
x3+
x2-a2x（a＞0）的两个极值点，且|x1|+|x2|=2．
（1）判定函数f（x）在区间（x1，x2）上的单调性；
（2）求a的取值范围．
| a |
| 3 |
| b |
| 2 |
（1）判定函数f（x）在区间（x1，x2）上的单调性；
（2）求a的取值范围．
（1）由已知f'（x）=ax2+bx-a2
∵x1，x2（x1＜x2）是f（x）的两个极值点．
∴x1，x2是f'（x）=0的两个根．
即f'（x）=a（x-x1）（x-x2）（a＞0）（2分）
列表如下：
由上表可知f（x）在区间（x1，x2）上单调递减（6分）
（2）∵x1，x2是f′(x)=ax2+bx-a2的两个根，
∴
，
∵a＞0，∴x1x2＜0，
又x1＜x2，∴x1＜0＜x2
∵|x1|+|x2|=2，
∴-x1+x2=2?(x1+x2)2-4x1x2=4（10分）
∴
+4a=4，∴b2=4a2（1-a）≥0
而a＞0，∴0＜a≤1（12分）
∵x1，x2（x1＜x2）是f（x）的两个极值点．
∴x1，x2是f'（x）=0的两个根．
即f'（x）=a（x-x1）（x-x2）（a＞0）（2分）
列表如下：
| x | （-∞，x1） | x1 | （x1，x2） | x2 | （x2，+∞） |
| f'（x） | + | 0 | - | 0 | + |
| f（x） | ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
（2）∵x1，x2是f′(x)=ax2+bx-a2的两个根，
∴
|
∵a＞0，∴x1x2＜0，
又x1＜x2，∴x1＜0＜x2
∵|x1|+|x2|=2，
∴-x1+x2=2?(x1+x2)2-4x1x2=4（10分）
∴
| b2 |
| a2 |
而a＞0，∴0＜a≤1（12分）
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的两个极值点，f(x)的导函数是
；
的最小值为h(a)，求h(a)的最大值．