Question

如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC中点，以A为原点，建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量解答以下问题
（1）证明：直线BD⊥OC
（2）证明：直线MN∥平面OCD
（3）求异面直线AB与OC所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：以A为原点，以AO，AB，AD分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，A-xyz．
（1）要证明BD⊥OC，只要证明即可；
（2）设平面OCD的法向量为，可得，求出法向量，只要证明即可；
（3）利用=即可得出．
解答：解：以A为原点，以AO，AB，AD分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，A-xyz．
则B（1，0，0），D（0，1，0），C（1，1，0），O（0，0，2），M（0，0，1），N．
（1）∵，，，
∴，∴BD⊥OC；
（2），设平面OCD的法向量为，则，
令y=2，则x=0，z=1，∴，
又，∴，
而MN?平面OCD，∴MN∥平面OCD．
（3），∴===，
∴异面直线AB与OC所成角的余弦值为．
点评：熟练掌握通过建立空间直角坐标系的方法求证垂直、线面平行及求出异面直线所成的角等是解题的关键．