Question

已知函数f（x）=|x-3|+|x-a|，a∈R．
（Ⅰ）当a=0时，解关于x的不等式f（x）＞4；
（Ⅱ）若?x∈R，使得不等式|x-3|+|x-a|＜4成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由a=0知原不等式为|x-3|+|x-a|＞4，分x≥3、0≤x＜3、x＜0 三种情况，分别求出解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）由题意可得|x-3|+|x-a|的最小值小于4，再由绝对值的意义可得|x-3|+|x-a|的最小值等于|a-3|，故有|a-3|＜4，由此求得实数a的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）由a=0知原不等式为|x-3|+|x-a|＞4，
当x≥3时，有2x-3＞4，解得 x＞．
当0≤x＜3 时，3＞4，无解．
当x＜0时，-2x+3＞4，解得 x＜-．
故解集为 {x|x＞，或x＜- }．
（Ⅱ）由?x∈R，使得不等式|x-3|+|x-a|＜4成立，可得|x-3|+|x-a|的最小值小于4．
又|x-3|+|x-a|≥|（x-3）-（x-a）|=|a-3|，∴|a-3|＜4，∴-4＜a-3＜4，即-1＜a＜7，
故实数a的取值范围为（-1，7）．
点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．