Question

一个直角三角形三边的长成等比数列，则（　　）

A．三边边长之比为3：4：5	B．三边边长之比为1： 3 ：3
C．较小锐角的正弦为 5 -1 2	D．较大锐角的正弦为 5 -1 2

Answer 1

设直角三角形较短的直角边为a（a＞0），公比为q，
由题意得：其它两边分别为aq，aq²，
根据勾股定理得：a²+（aq）²=（aq²）²，
整理得：q⁴-q²-1=0，
解得：q²=

1+ 5

2

或q²=

1- 5

2

（舍去），
则q²的值为

1+ 5

2

，
∴三边长之比为a：aq：aq²=1：q：q²=1：

1+ 5 2

：

1+ 5

2

，
故选项A和B错误；
设最小内角为α，
根据正弦定理得：

a

sinα

=

aq2

sin π 2

，即sinα=

1

q2

=

1

1+ 5 2

=

5 -1

2

，
则较小锐角的正弦值为

5 -1

2

，故选项C正确，
又最大角为直角，其正弦值为1，故选项D错误，
故选C