Question

已知{a_n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a₃•a₆=55，a₂+a₇=16．数列b₁，b₂-b₁，b₃-b₂，…，b_n-b_n-1是首项为1，公比为

1

3

的等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若cn=an•(bn-

3

2

)，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由{a_n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a₃•a₆=55，a₂+a₇=16．求出数列的首项及公差，代入可得数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）及数列b₁，b₂-b₁，b₃-b₂，…，b_n-b_n-1是首项为1，公比为

1

3

的等比数列，求出数列{b_n}通项，进而由cn=an•(bn-

3

2

)，求出数列{c_n}的通项，进而用错位相减法，求出数列{c_n}的前n项和S_n．

解答：解：（1）解：设等差数列{a_n}的公差为d，则依题知d＞0，
由a₃+a₆=a₂+a₇=16．且a₃•a₆=55，
得a₃=5，a₆=11，d=2
∴a_n=a₃+2（n-3）=2n-1    …（4分）
（2）由（1）得：a_n=2n-1（n∈N^*）．
b₁=1，当n≥2时，bn-bn-1=(

1

3

)n-1，
∴b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）
=1+

1

3

+(

1

3

)2+…+(

1

3

)n-1=

3

2

(1-

1

3n

)
因而bn=

3

2

(1-

1

3n

)，n∈N^*．
 cn=an•(bn-

3

2

)=(2n-1)•(-

3

2

)•

1

3n

，…（7分）
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n=-

3

2

(

1

3

+

3

32

+

5

33

+…+

2n-1

3n

)
令T_n=

1

3

+

3

32

+

5

33

+…+

2n-1

3n

①
则

1

3

Tn=

1

32

+

3

33

+

5

34

+…+

2n-3

3n

+

2n-1

3n+1

②
①-②得：

2

3

Tn=

1

3

+2(

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

)-

2n-1

3n+1

=

1

3

+

1

3

(1-

1

3n-1

)-

2n-1

3n+1

…（10分）
∴Tn=1-

n+1

3n

．
∴Sn=

3

2

(

n+1

3n

-1)．   …（12分）

点评：本题考查的知识点是等差数列与等比数列，根据已知求出各个数列的通项公式，并根据数列{c_n}的通项，选用错位相减法求和是解答的关键．