Question

（本题满分16分）

对于函数，如果存在实数使得，那么称为的生成函数。

（1）下面给出两组函数，是否分别为的生成函数？并说明理由。

第一组：；

第二组：。

（2）设，生成函数。若不等式

在上有解，求实数的取值范围。

（3）设，取生成函数图象的最低点坐标为。

若对于任意正实数且，
试问是否存在最大的常数，使恒成立？如果存在，求出这个的值；如果不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）①设，即

取，所以是的生成函数。

②设，即

则，该方程组无解。

所以不是的生成函数。…………………………………4分

（2）

，即

所以，。因为，所以

则，函数在上单调递增，所以

故。　　　　　　　　　　　　　　　　　…………………………………10分

（3）由题意得，，则，故，解得     所以。　　　　　　　　…………………………12分

假设存在最大的常数，使恒成立。于是设

＝

设，则，即

设

因为，所以在上单调递减，从而

故存在最大的常数　　　　　　　　　　　…………………………………16分