题目内容
【题目】在如图所示的几何体中，四边形
为平行四边形，
，
平面，
，
，
，
.
（1）若
是线段
的中点，求证：
平面
；
（2）若
，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）详见解析；（2）
.
【解析】
试题（1）连接
，利用平行线的传递性结合
得到
，再利用点
为
的中点得到
，从而证明四边形
为平行四边形，从而得到
，最终结合直线与平面的判定定理证明
平面
；（2）建立以点
为坐标原点，以
、、
所在直线为
轴、
轴、
轴的空间直角坐标系
，利用空间向量法来求二面角
的余弦值.
试题解析：（1）
，
，
，
，
，
，
由于，因此
连接，由于，
，
在平行四边形
中，是线段的中点，则
，且
，
因此，
且
，所以四边形为平行四边形，
，
又
平面，
平面，
平面；
（2）
，
，
又
平面，
、、两两垂直。
分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则
、
、
、
，
故
，
，又
，
，
.
设平面
的法向量
，
则
，
，取
，得
，所以
，
设平面
的法向量
，则
，∴
，取
，得
，所以
，
所以
故二面角的余弦值为.
【题目】为了解广大学生家长对校园食品安全的认识，某市食品安全检测部门对该市家长进行了一次校园食品安全网络知识问卷调查，每一位学生家长仅有一次参加机会，现对有效问卷进行整理，并随机抽取出了200份答卷，统计这些答卷的得分（满分：100分）制出的频率分布直方图如图所示，由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分
服从正态分布
，其中
近似为这200人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表）.
（1）请利用正态分布的知识求
；
（2）该市食品安全检测部门为此次参加问卷调查的学生家长制定如下奖励方案：
①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费：
②每次获赠的随机话费和对应的概率为：
获赠的随机话费（单位：元） |
|
|
概率 |
|
|
市食品安全检测部门预计参加此次活动的家长约5000人，请依据以上数据估计此次活动可能赠送出多少话费？
附：①
；②若
；则
，
，
.
