Question

在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且c=10，

cosA

cosB

=

b

a

=

4

3

，P为△ABC的内切圆上的动点，求点P到顶点A，B，C的距离的平方和的最大值与最小值．

Answer 1

分析：利用正弦定理可求得

b

a

，进而根据题设等式求得

cosA

cosB

=

sinB

sinA

整理求得A+B=

π

2

判断出三角形为直角三角形，进而可利用勾股定理求得a和b，利用直角三角形的性质求得其内切圆的半径，如图建立直角坐标系，则内切圆的方程可得，设出p的坐标，表示出，S=|PA|²+|PB|²+|PC|²，利用x的范围确定S的范围，则最大和最小值可得．

解答：解：由

cosA

cosB

=

b

a

，运用正弦定理，有

cosA

cosB

=

sinB

sinA

，
∴sinAcosA=sinBcosB∴sin2A=sin2B．
因为A≠B，所以2A=π-2B，即A+B=

π

2

由此可知△ABC是直角三角形
由c=10，

b

a

=

4

3

，a²+b²=c²以及a＞0，b＞0可得a=6，b=8．
如图，设△ABC的内切圆圆心为O'，
切点分别为D，E，F，则
AD+DB+EC=

1

2

（10+8+6）=12．
但上式中AD+DB=c=10，
所以内切圆半径r=EC=2，
如图建立坐标系，
则内切圆方程为：
（x-2）²+（y-2）²=4
设圆上动点P的坐标为（x，y），
则S=|PA|²+|PB|²+|PC|²
=（x-8）²+y²+x²+（y-6）²+x²+y²
=3x²+3y²-16x-12y+100
=3[（x-2）²+（y-2）²]-4x+76
=3×4-4x+76=88-4x．
因为P点在内切圆上，所以0≤x≤4，
S_最大值=88-0=88，
S_最小值=88-16=72

点评：本题主要考查了三角函数求最值的问题，直角三角形内切圆的问题，圆的性质问题．考查了学生基础知识的综合应用．