Question

已知a＞1，b＞

1

2

，且满足2ab=a+2b+1，则2a+b的最小值为

2

2

+

5

2

．

Answer 1

分析：先根据2ab=a+2b+1，将b用a表示，由b＞

1

2

求出a的取值范围，消去2a+b中的b，然后利用基本不等式可求出最值，注意等号成立的条件．

解答：解：∵2ab=a+2b+1，
∴b=

a+1

2(a-1)

，而b＞

1

2

，解得a≠1，
又∵a＞1，∴a＞1，即a-1＞0，
∴2a+b=2a+

a+1

2(a-1)

=2a+

a-1+2

2(a-1)

=2（a-1）+

2

2(a-1)

+

5

2

≥2

2(a-1)× 2 2(a-1)

+

5

2

=2

2

+

5

2

，
当且仅当2（a-1）=

2

2(a-1)

，即a=1+

2

2

时取等号，
∴2a+b的最小值为2

2

+

5

2

．
故答案为：2

2

+

5

2

．

点评：本题考查了基本不等式在最值问题中的应用．在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断．运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值．属于中档题．