Question

椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，对于椭圆有如下命题：已知A、F、B分别是优美椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）（离心率为黄金分割比

5 -1

2

的椭圆）的左顶点、右焦点和上顶点，则AB⊥BF．那么对于双曲线则有如下命题：已知A、F、B分别是优美双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞b＞0）（离心率为黄金分割比的倒数

5 +1

2

的双曲线）的左顶点、右焦点和其虚轴的上端点，则有（　　）

A．AB⊥BF

B．AF⊥BF

C．AB⊥AF

D．AB∥BF

Answer 1

分析：根据图象可知AB²=a²+b²=c²，BF²=b²+c²=2c²-a²，进而根据

c

a

=

5 +1

2

求得AF²=

6+2 5

4

c²，进而表示出AB²+BF²，最后可得AF²=AB²+BF²，根据勾股定理判断出AB⊥BF．

解答：解：如图，AB²=a²+b²=c²，BF²=b²+c²=2c²-a²，
∵

c

a

=

5 +1

2

，
∴

c2

a2

=

6+2 5

4

，
∴AF²=（

5 -1

2

c+c）²=

( 5 +1)2

4

c²=

6+2 5

4

c²，
而AB²+BF²=c²+2c²-a²=3c²-（

5 -1

2

c）²=3c²-

6-2 5

4

c²=

6+2 5

4

c²，
∴AF²=AB²+BF²，故AB⊥BF．
故选A

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．要利用好双曲线标准方程中的a，b和c的关系．