题目内容

已知直角三角形的周长为2，则此直角三角形的面积的最大值为________．

$\text{[math]}$
分析：设直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，因为L=a+b+c，c= $\text{[math]}$ ，两次运用均值不等式即可求解．
解答：直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，面积为s，周长L=2，
由于a+b+ $\text{[math]}$ =L≥2 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ．（当且仅当a=b时取等号）
∴ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ．
∴S= $\text{[math]}$ ab≤ $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）²
= $\text{[math]}$ •[ $\text{[math]}$ ]²= $\text{[math]}$ L²= $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：利用均值不等式解决实际问题时，列出有关量的函数关系式或方程式是均值不等式求解或转化的关键．