Question

已知直角三角形的周长为2，则此直角三角形的面积的最大值为

3-2

2

．

Answer 1

分析：设直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，因为L=a+b+c，c=

a2+b2

，两次运用均值不等式即可求解．

解答：解：直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，面积为s，周长L=2，
由于a+b+

a2+b2

=L≥2

ab

+

2ab

．（当且仅当a=b时取等号）
∴

ab

≤

L

2+ 2

．
∴S=

1

2

ab≤

1

2

（

L

2+ 2

）²
=

1

2

•[

(2- 2 )L

2

]²=

3-2 2

4

L²=3-2

2

．
故答案为：3-2

2

．

点评：利用均值不等式解决实际问题时，列出有关量的函数关系式或方程式是均值不等式求解或转化的关键．