Question

如图A，B是单位圆O上的点，且A，B分别在第一，二象限．C是圆与x轴正半轴的交点，△AOB为正三角形．若A点的坐标为（，）．记∠COA=α．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求cos∠COB的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）因为A点的坐标为（，），根据三角函数定义可知，sinα=，cosα=．

所以 ==20．

（Ⅱ）因为三角形AOB为正三角形，所以∠AOB=60°，
所以cos∠COB=cos（∠COA+60°）=cos（α+60°）=cosαcos60°-sinαsin60°=-=．
分析：（Ⅰ）根据A点的坐标，由任意角的三角函数的定义，求出sinα=，cosα=，利用二倍角公式把要求的式子化为，运算求得结果．
（Ⅱ）因为三角形AOB为正三角形，所以∠AOB=60°，由cos∠COB=cos（∠COA+60°）=cos（α+60°），再利用两角和差的余弦公式求得结果．
点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角公式，两角和差的余弦公式的应用，属于中档题．