Question

（1）求不等式|x+7|-|3x-4|+

2

-1＞0解集A；
（2）若不等式（x+a）（x-5a）＜0（a＞0）的解集为B，且A∩B=B，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）通过对x分类讨论去掉绝对值符号即可解出；
（2）先求出集合B，再利用交集的定义即可得出．

解答：解：（1）不等式为|x+7|-|3x-4|+

2

-1＞0，
①当x＞

4

3

时，原不等式化为x+7-(3x-4)+

2

-1＞0，
解得x＜5+

2

2

，∴

4

3

＜x＜5+

2

2

；              
②当-7≤x≤

4

3

时，原不等式化为x+7+(3x-4)+

2

-1＞0，
得x＞-

1

2

-

2

4

，即-

1

2

-

2

4

＜x≤

4

3

；           
当x＜-7时，原不等式化为x+7-(3x-4)+

2

-1＞0，
得x＞6-

2

2

，与x＜-7矛盾；
综上可得：A={x|-

1

2

-

2

4

＜x＜5+

2

2

}．
（2）由（1）可得：A={x|-

1

2

-

2

4

＜x＜5+

2

2

}，
由不等式（x+a）（x-5a）＜0（a＞0）解得-a＜x＜5a，
∴B={a|-a＜x＜5a，a＞0}，A∩B=B⇒B⊆A，
∴

- 1 2 - 2 2 ≤-a 5a≤5+ 2 2

，且a＞0，解得0＜a＜1+

2

10

．
∴a∈(0，1+

2

10

)．

点评：熟练掌握分类讨论的方法解绝对值不等式、交集的运算性质是解题的关键．