Question

已知m（x²+y²+2y+1）=（x-2y+3）²表示的曲线为一个椭圆，则m的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：根据题意方程表示椭圆，将m（x²+y²+2y+1）=（x-2y+3）²转化为：

( x2+(y+1)2 )2

( |x-2y+3| 5 )2

=

5

m

符合圆锥曲线的统一定义，再根据表示椭圆则比值小于1来求解．

解答：解：∵m（x²+y²+2y+1）=（x-2y+3）²
可转化为：

( x2+(y+1)2 )2

( |x-2y+3| 5 )2

=

5

m

表示动点（x，y）到定点（0，-1）与到定直线x-2y+3=0的距离的平方比为常数
∵表示椭圆，由椭圆定义知比值要小于1
∴

5

m

＜1，
∴m＞5．
故答案为：（5，+∞）

点评：本题主要考查方程的转化与变形，将曲线与方程有机地结合起来，还考查了圆锥曲线的统一定义．