Question

数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，其前n项的和S_n满足S_n²=a_n（S_n-1）．
（Ⅰ）证明：数列是等差数列；
（Ⅱ）设，数列{b_n}的前n项和为T_n，求满足T_n≥6的最小正整数n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）把a_n=S_n-S_n-1代入题设递推式整理求得，进而利用等差数列的定义推断出数列是等差数列
（Ⅱ）依据（Ⅰ）可求得数列的通项公式，代入b_n中求得其表达式，进而利用对数运算的法则求得T_n，根据T_n≥6利用对数函数的单调性求得n的范围，进而求得最小正整数n．
解答：解（Ⅰ）∵S_n²=a_n（S_n-1）∴S_n²=（S_n-S_n-1）（S_n-1）（n≥2）
∴S_nS_n-1=S_n-1-S_n，即，
∴是1为首项，1为公差的等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
∴，
∴（n+2）（n+1）≥128∵
∴n≥10，
所以满足T_n≥6的最小正整数为10．
点评：本题主要考查了数列的递推式，等差关系的确定，数列的通项公式和求和公式．