Question

若椭圆C₁：

x2

a12

+

y2

b12

=1（a₁＞b₁＞0）和椭圆C₂：

x2

a22

+

y2

b22

=1（a₂＞b₂＞0）的焦点相同且a₁＞a₂．给出如下四个结论：
①椭圆C₁和椭圆C₂一定没有公共点；           
②

a1

a2

＞

b1

b2

；
③a₁²-a₂²=b₁²-b₂²；                      
④a₁-a₂＜b₁-b₂．
其中，所有正确结论的序号是

①③④

．

Answer 1

分析：先由a₁²-b₁²=a₂²-b₂²，从而③a₁²-a₂²=b₁²-b₂²成立，下面从两个方面来看：一方面：a₁＞a₂，由上得b₁＞b₂，从而①成立；②不成立；另一方面：a₁²-b₁²=a₂²-b₂²⇒（a₁+b₁）（a₁-b₁）=（a₂+b₂）（a₂-b₂）⇒a₁-b₁＜a₂-b₂，从而④成立；从而得出正确答案．

解答：解：a₁²-b₁²=a₂²-b₂²，从而③a₁²-a₂²=b₁²-b₂²成立，
一方面：a₁＞a₂，由上得b₁＞b₂，从而①成立；
若在a₁²-a₂²=b₁²-b₂²中，a₁=2，a₂=

2

，b₁=

3

，b₂=1，

a1

a2

=

2

2

=

2

，

b1

b2

=

3

1

=

3

，有：

a1

a2

＜

b1

b2

故②不成立；
另一方面：a₁²-b₁²=a₂²-b₂²⇒（a₁+b₁）（a₁-b₁）=（a₂+b₂）（a₂-b₂）
由于a₁+b₁＞a₂+b₂
∴a₁-b₁＜a₂-b₂，
从而④成立；
∴所有正确结论的序号是 ①③④．
故答案为：①③④．

点评：本小题主要考查椭圆的简单性质、椭圆的标准方程、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查转化思想．属于基础题．