题目内容

若椭圆C1：
x2
a12
+
y2
b12
=1（a1＞b1＞0）和椭圆C2：
x2
a22
+
y2
b22
=1（a2＞b2＞0）的离心率相同，且a1＞a2．给出如下四个结论：
①椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点； 
②
a1
a2
=
b1
b2
；
③a12-a22＜b12-b22；              
④a1-a2＜b1-b2．
则所有结论正确的序号是
①②
①②
．
分析：利用两椭圆有相同的离心率，可知两个椭圆a，b，c之间的关系，进而分别判断各结论是否正确．
解答：解：因为两椭圆有相同的离心率，所以
a
2
1
-
b
2
1
a
2
1
=
a
2
2
-
b
2
2
a
2
2
，
①因为
a
2
1
-
b
2
1
a
2
1
=
a
2
2
-
b
2
2
a
2
2
，即1-(
b1
a1
)2=1-(
b2
a2
)2，所以
b1
a1
=
b2
a2
，即
a1
a2
=
b1
b2
成立，因为a1＞a2，所以b1＞b2．即椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点，所以①正确．
②由①知即
a1
a2
=
b1
b2
成立，所以②正确．
③因为
a
2
1
-
b
2
1
a
2
1
=
a
2
2
-
b
2
2
a
2
2
，且a1＞a2，所以
a
2
1
-
b
2
1
＞
a
2
2
-
b
2
2
，即
a
2
1
-
a
2
2
＞
b
2
1
-
b
2
2
，所以③错误．
④由②知a2=
a1b2
b1
，所以a1-a2=a1-
a1b2
b1
=a1(
b1-b2
b1
)=
a1
b1
(b1-b2)＞b1-b2，所以④错误．
故所有结论正确的序号是①②．
故答案为：①②．
点评：本题考查了椭圆的性质以及与椭圆a，b，c有关的计算和推理，运算量较大，综合性较强．
练习册系列答案
相关题目
（2013•济南二模）若椭圆C1：
x2
a12
+
y2
b12
=1（a1＞b1＞0）和椭圆C2：
x2
a22
+
y2
b22
=1（a2＞b2＞0）的焦点相同且a1＞a2．给出如下四个结论：
①椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点；
②
a1
a2
＞
b1
b2
；
③a12-a22=b12-b22；
④a1-a2＜b1-b2．
其中，所有正确结论的序号是（　　）
若椭圆C1：
x2
a12
+
y2
b12
=1（a1＞b1＞0）和椭圆C2：
x2
a22
+
y2
b22
=1（a2＞b2＞0）的焦点相同且a1＞a2．给出如下四个结论：
①椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点；           
②
a1
a2
＞
b1
b2
；
③a12-a22=b12-b22；                      
④a1-a2＜b1-b2．
其中，所有正确结论的序号是
①③④
①③④
．
（2013•河西区一模）已知对称中心为坐标原点的椭圆C1与抛物线C2：x2=4y有一个相同的焦点F1，直线l：y=2x+m与抛物线C2只有一个公共点．
（1）求直线l的方程；
（2）若椭圆C1经过直线l上的点P，当椭圆C1的离心率取得最大值时，求椭圆C1的方程及点P的坐标．
若椭圆C1：
x2
a12
+
y2
b12
=1（a1＞b1＞0）和椭圆C2：
x2
a22
+
y2
b22
=1（a2＞b2＞0）的焦点相同且a1＞a2．给出如下四个结论：
①椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点；
②
a1
a2
＞
b1
b2
；
③a12-a22=b12-b22；
④a1-a2＜b1-b2．
其中，所有正确结论的序号是（　　）
A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③

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