Question

【题目】已知，，其中，则下列判断正确的是__________．（写出所有正确结论的序号）

①关于点成中心对称；

②在上单调递增；

③存在，使；

④若有零点，则；

⑤的解集可能为.

Answer 1

【答案】①③⑤

【解析】

对于①，根据函数为奇函数并结合函数图象的平移可得正确．对于②，分析可得当时，函数在上单调递减，故不正确．对于③，由，可得，从而得

，可得结果成立．对于④，根据③中的函数的值域可得时方程也有解．对于⑤，分析可得当时满足条件，由此可得⑤正确．

对于①，令，则该函数的定义域为，且函数为奇函数，故其图象关于原点对称．又函数的图象是由的图象向上或向下平移个单位而得到的，所以函数图象的对称中心为，故①正确．

对于②，当时，，若，则函数在上单调递减，所以函数单调递增；函数在上单调递增，所以函数单调递减．故②不正确．

对于③，令，则当时，，

则．

所以，

令，则成立．故③正确．

对于④，若有零点，则，得，从而得，

故，结合③可得当有零点时，只需即可，而不一定为零．故④不正确．

对于⑤，由，得．取，则，整理得．当时，方程的两根为或．又函数为奇函数，故方程的解集为．故⑤正确．

综上可得①③⑤正确．

故答案为：①③⑤