Question

如图，函数y=2sin（πx+φ），x∈R（其中0＜φ≤

π

2

）的图象与y轴交与点（0，1）．
（1）求φ的值；
（2）设P是图象上的最高点，M，N是图象与x轴交点，求

PM

与

PN

的夹角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）把点（0，1）代入函数y=2sin（πx+φ），再由∅的取值范围求出φ的值．
（2）由（1）知 函数y=2sin（πx+

π

6

），结合图象可得点P（

1

3

，2 ），M（-

1

6

，0），N （

5

6

，0），△PMN中，由余弦定理可求得cos＜

PM

，

PN

＞的值．

解答：解：（1）把点（0，1）代入函数y=2sin（πx+φ）可得，sinφ=

1

2

，再由0＜φ≤

π

2

知φ=

π

6

．
（2）由（1）知 函数y=2sin（πx+

π

6

），结合图象可得点P（

1

3

，2 ），
M（-

1

6

，0），N （

5

6

，0），故PM=

1 4 +4

=

17

2

，PN=

1 4 +4

=

17

2

，MN=1，
△PMN中，由余弦定理可得 1=

17

4

+

17

4

-2×

17

2

×

17

2

cos＜

PM

，

PN

＞，
解得 cos＜

PM

，

PN

＞=

15

17

．

点评：本题主要考查余弦定理的应用，两个向量的数量积的定义，以及由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，属于中档题．