Question

已知椭圆过点，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）为椭圆的左右顶点，点是椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点.证明：以线段为直径的圆恒过轴上的定点.

Answer 1

解：（1）由题意可知， ，  而，   且.      解得，
所以，椭圆的方程为.                                         
（2）由题可得.设，                                
直线的方程为，                                       
令，则，即；                  
直线的方程为，                                         
令，则，即；                  
证法一：设点在以线段为直径的圆上，则，            
即，                                 
，
而，即，
，或.                             
所以以线段为直径的圆必过轴上的定点或.          
证法二：以线段为直径的圆为
                          
令，得，                         
∴，而，即，
∴，或.                               
所以以线段为直径的圆必过轴上的定点或.           
解法3：令，则，令，得            
同理，.                                                     
∴以为直径的圆为                                   
当时，或.
∴圆过                                              
令，   直线的方程为，                                         
令，则，即；                   
直线的方程为，
令，则，即；                  
∵   ∴在以为直径的圆上.
同理，可知也在为直径的圆上.  ∴定点为  

略