Question

【题目】如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线，的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）

（1）将放在容器Ⅰ中，的一端置于点A处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度；

（2）将放在容器Ⅱ中，的一端置于点E处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度．

Answer 1

【答案】（1）16；（2）20．

【思路分析】（1）转化为直角三角形ACM中，利用相似性质求解AP1；（2）转化到三角形EGN中，先利用直角梯形性质求角，再利用正弦定理求角，最后根据直角三角形求高，即为没入水中部分的长度．

【解析】（1）由正棱柱的定义，平面，所以平面平面，．

记玻璃棒的另一端落在上点处．

因为，所以，从而，

如图，与水面的交点为，过作P1Q1⊥AC，Q1为垂足，

则P1Q1⊥平面ABCD，故P1Q1=12，从而AP1=．

答：玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．（5分）

(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)

（2）如图，O，O1是正棱台的两底面中心．

由正棱台的定义，OO1⊥平面EFGH，所以平面E1EGG1⊥平面EFGH，O1O⊥EG．

同理，平面E1EGG1⊥平面E1F1G1H1，O1O⊥E1G1．

记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处．

过G作GK⊥E1G1，K为垂足，则GK =OO1=32．

因为EG = 14，E1G1= 62，

所以KG1=，从而．

设则．

因为，所以．

在中，由正弦定理可得，解得．

因为，所以．

于是．

记EN与水面的交点为P2，过P2作P2Q2⊥EG，Q2为垂足，则P2Q2⊥平面EFGH，

故P2Q2=12，从而EP2=．

答：玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．（10分）

(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)