题目内容

已知p1,p2，q1,q2∈R,且p1p2=2(q1+q2).

求证：方程x2+p1x+q1=0和x2+p2x+q2=0中，至少有一个方程有实根.

分析：“至少有一个”是“有一个”“有两个”，它的反面是“一个都没有”.

证明：假设这两个一元二次方程都没有实根，那么它们的判别式都小于0，即

∴p12+p22＜4(q1+q2).

把p1p2=2(q1+q2)代入上式，得p12+p22-2p1p2＜0,即（p1-p2）2＜0.

这与“任何实数的平方为非负数”相矛盾，所以假设不成立.

故这两个方程中，至少有一个方程有实根.

练习册系列答案
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已知命题p1：函数y=2x-2-x在R上为增函数，p2：函数y=2x+2-x在R上为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2；q3：（￢p1）∨p2；q4：p1∨（￢p2）；其中为真命题的是（　　）
（2009•杨浦区一模）已知△OAB，
OA
=
a
，
OB
=
b
，|
a
|=
2
，|
b
|=
3
，
a
•
b
=1，边AB上一点P1，这里P1异于A、B．由P1引边OB的垂线P1Q1，Q1是垂足，再由Q1引边OA的垂线Q1R1，R1是垂足．又由R1引边AB的垂线R1P2，P2是垂足．同样的操作连续进行，得到点　Pn、Qn、Rn（n∈N*）．设 
APn
=tn(
b
-
a
)(0＜tn＜1），如图．
（1）求|
AB
|的值；
（2）某同学对上述已知条件的研究发现如下结论：
BQ1
=-
2
3
(1-t1)
b
，问该同学这个结论是否正确？并说明理由；
（3）用t1和n表示tn．

已知p1，p2，q1，q2∈R，且p1p2＝2(q1＋q2)，求证：方程x2＋p1x＋q1＝0和方程x2＋p2x＋q2＝0中，至少有一个方程有实根．

已知p1，p2，q1，q2∈R，且p1p2＝2(q1＋q2)，求证：方程x2＋p1x＋q1＝0和方程x2＋p2x＋q2＝0中，至少有一个方程有实根．

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