已知定义在R上的函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-x}.x＜0}\\{a{x}^{3}+x+n.0≤x≤4}\\{a.x＞4}\end{array}\right.$.的图象不间断．(1)求m.n的值,(2)若a.b互为相反数.且f(x)是R上的单调函数.求a的取值范围,(3)若a=1.b∈R.试讨论函数g+b的零点个数.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．已知定义在R上的函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-x}，x＜0}\\{a{x}^{3}+（b-4a）{x}^{2}-（4b+m）x+n，0≤x≤4}\\{a（lo{g}_{4}x-1），x＞4}\end{array}\right.$，（其中a≠0）的图象不间断．
（1）求m，n的值；
（2）若a，b互为相反数，且f（x）是R上的单调函数，求a的取值范围；
（3）若a=1，b∈R，试讨论函数g（x）=f（x）+b的零点个数，并说明理由．

分析（1）由f（x）的图象不间断，可得f（0）=1，f（4）=0，解方程可得m，n；
（2）运用指数函数的单调性，可得a＜0，求出三次函数的导数，求出对称轴，判别式小于等于0，解不等式可得a的范围；
（3）由题意可得y=x³+（b-4）x²-（4b+$\frac{1}{4}$）x+1，y′=3x²+2（b-4）x-（4b+$\frac{1}{4}$），△=4（b-4）²+12（4b+$\frac{1}{4}$）=4b²+16b+67＞0，求得函数y的单调区间和极值，对b讨论，①当b＞0时，②当b＜-1时，③当-1＜b＜0时，④当b=0时，⑤当b=-1时，运用解方程和函数零点存在定理，即可得到零点个数．

解答解：（1）由f（x）的图象不间断，可得f（0）=1，f（4）=0，
即为n=1，64a+16（b-4a）-4（4b+m）+n=0，解得m=$\frac{1}{4}$，n=1；
（2）由y=2^-x在R上递减，可得f（x）是R上的单调函数，
则在y=a（log₄x-1）中，y′=$\frac{a}{xln4}$＜0，故a＜0；
在y=ax³+（b-4a）x²-（4b+$\frac{1}{4}$）x+1中，由a+b=0，y′=3ax²-10ax+4a-$\frac{1}{4}$，
对称轴为x=$\frac{5}{3}$，△=100a²-12a（4a-$\frac{1}{4}$）≤0，解得-$\frac{3}{52}$≤a＜0；
（3）由题意可得y=x³+（b-4）x²-（4b+$\frac{1}{4}$）x+1，y′=3x²+2（b-4）x-（4b+$\frac{1}{4}$），
△=4（b-4）²+12（4b+$\frac{1}{4}$）=4b²+16b+67＞0，
所以关于x的方程，y′=0有两个不等实根x₁，x₂（x₁＜x₂），
当x＜x₁时，y′＞0，函数y递增；当x₁＜x＜x₂时，y′＜0，函数y递减；当x＞x₂时，y′＞0，函数y递增．
即有函数y在x₁处取得极大值，在x₂处取得极小值．
①当b＞0时，2^-x+b=0无解，log₄x-1+b=0无解．
又f（0）+b=1+b＞0，f（4）+b=b＞0，f（2）+b=8+4（b-4）-2（4b+$\frac{1}{4}$）+1+b=-$\frac{15}{2}$-3b＜0，
f（x）+b=0在（0，4）有两解，则g（x）=f（x）+b共有2个零点；
②当b＜-1时，2^-x+b=0有一解x=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（-b），log₄x-1+b=0有一解x=4^1-b，
又f（0）+b=1+b＜0，f（4）+b=b＜0，f（$\frac{1}{2}$）+b=$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{4}$（b-4）-$\frac{1}{2}$（4b+$\frac{1}{4}$）+1+b=-$\frac{3}{4}$b＞0，
则f（x）+b=0在（0，4）有4解，则g（x）=f（x）+b共有4个零点；
③当-1＜b＜0时，2^-x+b=0无解，log₄x-1+b=0有一解x=4^1-b，
又f（0）+b=1+b＞0，f（4）+b=b＜0，
则f（x）+b=0在（0，4）有2解，则g（x）=f（x）+b共有2个零点；
④当b=0时，有x=4和x=$\frac{1}{2}$两个解；
⑤当b=-1时，有x=0，x=16，x=$\frac{5-\sqrt{10}}{2}$三个解．
综上可得，当b＞-1时，g（x）有2个零点；当当b=-1时，g（x）有3个零点；
当b＜-1时，g（x）有4个零点．