Question

22、（本题满分14分）

定义F(x,y)=y^x(x>0,y>0).

(1)设函数f(n)=(n∈N*) , 求函数f(n)的最小值;

(2)设g(x)=F(x,2),正项数列{a_n}满足;a₁=3,g(a_n+1)=,求数列{a_n}的通项公式,并求所有可能乘积a_ia_j(1≤i≤j≤n)的和.

 

Answer 1

【答案】

解:(1)f(n)= ,  =…= , 由2n²-(n+1)²=(n-1)²-2,

当n≥3时,f(n+1)>f(n); 当n<3时,f(n+1)<f(n),

所以当n=3时,f(n)_min=f(3)=;………………6分

(2) g(x)=2^x,所以g(a_n+1)=,又g(a_n+1)==,

所以a_n+1=3a_n,而a₁=3,所以a_n=3ⁿ;……………………………9分

 

设所求的和为S,

则S=a₁•a₁+  (a₁+a₂)•a₂+…+(a₁+a₂+…+a_n)•a_n…………………11分

 =3•3¹+(3+3²)•3²+…+(3+3²+…+3ⁿ) •3ⁿ ………………………12分

       =•3¹+•3²+…+•3ⁿ

    =

    =

    =………………………14分.

 

【解析】略