题目内容

在平面直角坐标系xOy中，点F与点E（- $数学公式$ ，0）关于原点O对称，M是动点，且直线EM与FM的斜率之积等于 $数学公式$ ．设点M的轨迹为曲线C，经过点 $数学公式$ 且斜率为k的直线l与曲线C有两个不同的交点P和Q．
（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；
（Ⅱ）求k的取值范围；
（Ⅲ）设A $数学公式$ ，曲线C与y轴正半轴的交点为B，是否存在常数k，使得向量 $数学公式$ 与 $数学公式$ 共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

解：（Ⅰ）设点M（x，y），由题意得点F（ $\text{[math]}$ ，0）， $\text{[math]}$ ，化简可得 x²+y²=2，
故曲线C的方程为 x²+y²=2，表示以原点为圆心，以 $\text{[math]}$ 为半径的圆．
（Ⅱ）∵点 $\text{[math]}$ 是圆和y轴的交点，经过点 $\text{[math]}$ 且斜率为k的直线l与曲线C有两个不同的交点P和Q，
∴线l与曲线C不能相切，∴k≠0．
（Ⅲ）把直线l的方程 y- $\text{[math]}$ =k（x-0）代入曲线C的方程 x²+y²=2 得，（1+k²）x²+2 $\text{[math]}$ kx=0．
设P（x₁，y₁ ），Q（x₂，y₂），则 x₁+x₂=- $\text{[math]}$ ，x₁•x₂=0．
∴ $\text{[math]}$ =（x₁+x₂，kx₁+ $\text{[math]}$ +kx₂+ $\text{[math]}$ ）=（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
由B（0， $\text{[math]}$ ），A $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ =（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．∵向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共线，
∴ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ -（- $\text{[math]}$ ）（ $\text{[math]}$ ）=0， $\text{[math]}$ =0，∴k=1．
即存在常数 k=1 满足题中的条件．
分析：（Ⅰ）设点M（x，y），由题意得点F（ $\text{[math]}$ ，0）， $\text{[math]}$ ，化简可得曲线C的方程．
（Ⅱ）直线l经过圆和y轴的交点（0， $\text{[math]}$ ），直线l与曲线C有两个不同的交点，故直线l与曲线C不能相切，k≠0．
（Ⅲ）把直线l的方程代入曲线C的方程，利用根与系数的关系，求得 $\text{[math]}$ 的坐标，再利用
$\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共线，求出 k值．
点评：本题考查直接利用条件求点的轨迹方程的方法，向量坐标形式的运算，两个向量共线的性质，准确计算是解题的难点．