Question

设A（x₁，x₂）、B（x₂，y₂）是抛物线x²=4y上不同的两点，且该抛物线在点A、B处的两条切线相交于点C，并且满足．
（1）求证：x_1•x₂=-4；
（2）判断抛物线x²=4y的准线与经过A、B、C三点的圆的位置关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出抛物线方程的导函数，进而设出点A、B处的切线的斜率；再利用得到，即可得到关于点A、B横坐标之间的等量关系，即可证明结论．
（2）先利用得经过A、B、C三点的圆的圆心为线段AB的中点D，利用中点坐标公式求出点D；再利用两点间的距离公式求出圆的半径的表达式，整理即可得到抛物线x²=4y的准线与经过A、B、C三点的圆的位置关系．
解答：证明：（1）由x²=4y得，则，
∴抛物线x²=4y在点A（x₁，x₂）、B（x₂，y₂）处的切线的斜率分别为，…（2分）
∵，∴，…（4分）
∴抛物线x²=4y在点A（x₁，x₂）、B（x₂，y₂）处两切线互相垂直，
∴，
∴x_1•x₂=-4．…（6分）
解：（2）∵，
∴，
∴经过A、B、C三点的圆的圆心为线段AB的中点D，
圆心D，…（8分）
∵抛物线x²=4y的准线方程为y=-1，
∴点D到直线
y=-1的距离为，…（10分）
∵经过A、B、C三点的圆的半径，
由于x₁²=4y₁，x₂²=4y₂，且x_1•x₂=-4，则，
∴
=
=
=
=，…（12分）
∴d=r，
∴抛物线x²=4y准线与经过A、B、C三点的圆相切．…（14分）
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题，做这一类型题目的关键是看清题中给出的条件，灵活运用中点坐标公式以及点到直线的距离公式，抛圆锥曲线的定义进行求解．