Question

已知：0＜α＜

π

2

，0＜β＜

π

2

，且sin（α+β）=2sinα，求证：α＜β．

Answer 1

证明：方法一（反证法）
假设α=β（且均为锐角），由于sin（α+β）=2sinα，
∴sinαcosβ+cosαsinβ=2sinα
∴2sinαcosα=2sinα
∴cos α=1，
这与0＜α＜

π

2

，相矛盾，故α≠β．
假设α＞β，∵sinαcosβ+cosαsinβ=2sin α．
∴cosαsinβ=sinα（2-cos β），即

sinα

sinβ

=

cosα

2-cosβ

．
由于

π

2

＞α＞β＞0，易知上式左边大于1，而右边小于1，不能成立，故α≤β．
因为α≠β且α≤β，只能是α＜β．
方法二（综合法）由已知sinαcosβ+cosαsinβ=2sinα，
∵0＜α＜

π

2

，0＜β＜

π

2

，
∴0＜cosα＜1，0＜cosβ＜1．
∴2sinα=sinαcosβ+cosαsinβ＜sinα+sinβ，
即sinα＜sinβ，∴α＜β．