Question

已知函数f（x）=a-

2

ex+1

在R上是奇函数．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）判断并证明f（x）在R上的单调性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接根据定义在R上的奇函数满足f（0）=0，即可求出a的值；
（Ⅱ）直接根据单调性的定义证明即可．

解答：（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）∵f（x）=a-

2

ex+1

在R上是奇函数
∴f（0）=0，…（2分）
即a-

2

e0+1

=0
∴a=1，此时f（x）=1-

2

ex+1

…（4分）
经检验，当a=1时，f（-x）=-f（x），即函数f（x）为奇函数
∴a=1…（6分）
（Ⅱ）f（x）在R上是增函数，证明如下
∵f（x）=1-

2

ex+1

任取x₁，x₂∈R，，且x₁＜x₂…（7分）
则f（x₁）-f（x₂）=

2(ex1-ex2)

(ex1+1)(ex2+1)

…（10分）
∵x₁＜x₂
∴ex1＜ex2，（ex1+1）（ex2+1）＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在R上是增函数．…（13分）

点评：本题主要考察函数奇偶性与单调性的综合．解决本题第一问的关键在于根据定义在R上的奇函数满足f（0）=0，求出a的值．