Question

下面命题正确的是______．
①存在实数α，使sinαcosα=1；
②若α，β是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ；
③在△ABC中，若sinAsinB＞cosAcosB，则这个三角形是锐角三角形；
④函数y=cos²x+sinx的最小值是-1；
⑤若cosθ＜0且sinθ＞0，则

θ

2

是第一象限角．

Answer 1

①∵sinαcosα=

1

2

sin2α，且sin2α∈[-1，1]，
∴sinαcosα∈[-

1

2

，

1

2

]，
则不存在实数α，使sinαcosα=1，本选项错误；
②若α，β是第一象限角，令α=

13π

6

，β=

π

3

，
满足α＞β，但是tanα=tan（2π+

π

6

）=tan

π

6

=

3

3

，tanβ=

3

，
即tanα＜tanβ，本选项错误；
③sinAsinB＞cosAcosB，变形得：cosAcosB-sinAsinB＜0，
即cos（A+B）＜0，又A和B都为三角形的内角，
∴A+B∈（

π

2

，π），即C为锐角，
但三角形不一定为锐角三角形，本选项错误；
④函数y=cos²x+sinx=1-sin²x+sinx=-（sinx-

1

2

）²+

5

4

，
又-1≤sinx≤1，
则当sinx=-1时，函数有最小值，最小值为-1，本选项正确；
⑤由cosθ＜0且sinθ＞0，得到θ为第二或四象限，
则

θ

2

为第一象限或第四象限，本选项错误，
则正确的选项为④．
故答案为：④