题目内容

(2013•德州二模)若对于定义在R上的函数f(x),存在常数t(t∈R),使得f(x+t)+tf(x)=0对任意实数x均成立,则称f(x)是阶回旋函数,则下面命题正确的是(  )
分析:直接利用f(x)是t阶回旋函数的定义,逐个判断即可得到结果.
解答:解:对于A,f(x)=2x-
1
2
阶回旋函数,则2x-
1
2
+(-
1
2
)2x=(
2
2
-
1
2
)2x
不恒为0,所以A不正确.
对于B,f(x)=sin(πx)是1阶回旋函数,故有:sinπ(x+1)+sinπx=-sinπx+sinπx=0,对任意实数x成立,所以f(x)=sin(πx)是1阶回旋函数.
对于C,f(x)=x2是1阶回旋函数,则(x+1)2+x2=0对任意实数都成立,这个方程无解故f(x)=x2不是1阶回旋函数,该函数不是回旋函数.C不正确.
对于D,f(x)=logax是0阶回旋函数,则loga(x+0)+0logax=logax,不恒为0,所以D不正确.
故选B.
点评:本题是新定义题,关键是理解新定义,利用新定义时,应注意赋值法的运用.
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