Question

已知{a_n}是递增数列，且对任意的n∈N^*都有a_n=n²+2

3

sinθ•n（θ∈[0，2π]）恒成立，则角θ的取值范围是______．

Answer 1

∵{a_n}是递增数列，且对任意的n∈N^*都有a_n=n²+2

3

sinθ•n（θ∈[0，2π]）恒成立，
∴a_n+1≥a_n，对任意的n∈N^*都成立，
∴（n+1）²+2

3

sinθ•（n+1）-n²-2

3

sinθ•n，
∴2n+1+2

3

sinθ≥0，转化为2

3

sinθ≥-2n-1，恒成立，因为n≥1，n∈N^*，
∴-2n-1≥-3，
∴2

3

sinθ≥-3，解得sinθ≥-

3

2

，∵θ∈[0，2π]
解得0≤θ≤

4π

3

，或

5π

3

≤θ≤2π，
故答案为：[0，

4π

3

]∪[

5π

3

，2π]；