Question

已知正四棱柱中，，为的中点，为直线上的动点，设.

（Ⅰ）当时，求与平面所成的角；

（Ⅱ）当时，求二面角的大小（用反三角函数表示）；

（Ⅲ）当为何值时，有？

Answer 1

解：方法一：

（Ⅰ）当时，由，得 

连结，则就是与平面所成的角

在中，，∴

∴与平面所成的角是       

（Ⅱ）当时，     

在平面内作，为垂足，连结，

则，∴就是二面角的平面角 

在中，，

在中，

∴二面角的大小   

（Ⅲ）连结，为在平面上的射影，要使，只要                                                     

过点在平面上作，垂足为，与的延长线交于

此时∽，∴，∴                       

∴当时，                                          

方法二：

（Ⅰ）解：建立空间直角坐标系O-xyz，则

，则 

                   

当时，，

设平面的法向量为，则 

设与的夹角为，则

∴与平面所成的角是                     

（Ⅱ）当时，，，

设平面的法向量，则

∴                                  

∴

∴二面角的大小 

（Ⅲ）显然，设，则

要使，只要，即，解得  

∴