Question

【题目】曲线，直线关于直线对称的直线为，直线，与曲线分别交于点、和、，记直线的斜率为．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）当变化时，试问直线是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）见解析

【解析】

（Ⅰ）设直线上任意一点关于直线对称点为，利用与关于直线对称可得关系，代入斜率乘积即可得到的值；

（Ⅱ）设出，的坐标，分别联立两直线方程与椭圆方程，求出，的坐标，进一步求出所在直线的斜率，写出直线方程的点斜式，整理后由直线系方程可得当变化时，可得直线过定点．

（Ⅰ）证明：设直线上任意一点关于直线对称点为，

直线与直线的交点为，

∴，，，，

由得①，

由，得②，

由①②得，

；

（Ⅱ）设点，，

由，得，

可得或，

即，

由，可将换为，

可得，

，

即直线：，

可得 ，

即为，

则当变化时，直线过定点．