题目内容
已知直线x=3与双曲线C：
-
=1的渐近线交于E1，E2两点，记
=
，
=
，任取双曲线上的点P，若
=a
+b
（a，b∈R），则下列关于a，b的表述：
①4ab=1 ②0＜a2+b2＜
③a2+b2≥1 ④a2+b2≥
⑤ab=1
其中正确的是 ．
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 4 |
| OE1 |
| e1 |
| OE2 |
| e2 |
| OP |
| e1 |
| e2 |
①4ab=1 ②0＜a2+b2＜
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
其中正确的是
分析：求出双曲线的渐近线方程，可得E1，E2两点的坐标，利用向量知识求出P的坐标，代入双曲线方程，即可得出结论．
解答：解：双曲线C：
-
=1的渐近线方程为y=±
x，
将直线x=3代入y=±
x，可得E1（3，2），E2（3，-2）．
∵
=
，
=
，
∴
=（3，2），
=（3，-2），
∴
=a
+b
=（3a+3b，2a-2b），
∴P（3a+3b，2a-2b），
∵P是双曲线C：
-
=1的点，
∴
-
=1，
∴（a+b）2-（a-b）2=1，
∴4ab=1，∴①正确；
∵a2+b2≥2ab=
，∴④正确；
故答案为：①④．
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 4 |
| 2 |
| 3 |
将直线x=3代入y=±
| 2 |
| 3 |
∵
| OE1 |
| e1 |
| OE2 |
| e2 |
∴
| e1 |
| e2 |
∴
| OP |
| e1 |
| e2 |
∴P（3a+3b，2a-2b），
∵P是双曲线C：
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 4 |
∴
| (3a+3b)2 |
| 9 |
| (2a-2b)2 |
| 4 |
∴（a+b）2-（a-b）2=1，
∴4ab=1，∴①正确；
∵a2+b2≥2ab=
| 1 |
| 2 |
故答案为：①④．
点评：本题考查双曲线的渐近线方程，考查向量知识的运用，考查基本不等式的运用，确定P的坐标是关键．
练习册系列答案
相关题目
+
=1，（a＞b＞0）与双曲4x2-
y2=1有相同的焦点，且椭C的离心e=
，又A，B为椭圆的左右顶点，M为椭圆上任一点（异于A，B）．
+
=1，（a＞b＞0）与双曲4x2-
y2=1有相同的焦点，且椭C的离心e=
，又A，B为椭圆的左右顶点，M为椭圆上任一点（异于A，B）．
+
=1，（a＞b＞0）与双曲4x2-
y2=1有相同的焦点，且椭C的离心e=
，又A，B为椭圆的左右顶点，M为椭圆上任一点（异于A，B）．
+
=1，（a＞b＞0）与双曲4x2-
y2=1有相同的焦点，且椭C的离心e=
，又A，B为椭圆的左右顶点，M为椭圆上任一点（异于A，B）．